技术与科学相辅相成。数字信号处理(DSP)就是最好的例子。数字信号处理是优化数字通信准确性和效率的过程。任何事物都是数据—无论是来自外太空探测器的图像还是地震振动，以及介于两者之间的任何事物。利用计算机将这些数据转换成人类可读的格式就是数字信号处理。它是结合数学理论和物理实现的最强大技术之一。数字信号处理的研究始于电气工程的研究生课程，但随着时间的推移，它已成为科学和工程领域潜在的游戏规则改变者。可以说，如果没有 DSP，工程师和科学家可能将不复存在。

傅立叶变换是一种将时域或空间域的信号映射到频域频谱的方法。时域和频域只是表示信号的不同方式，而傅里叶变换则是这两种表示方式之间的数学关系。一个域中信号的变化也会影响另一个域中的信号，但影响的方式不一定相同。离散傅里叶变换(DFT)是一种与傅里叶变换类似的变换，用于数字化信号。顾名思义，它是傅里叶变换的离散版本，将时域和频域都视为周期性的。快速傅里叶变换(FFT)只是一种快速高效计算 DFT 的算法。

离散傅里叶变换 (DFT)

离散傅里叶变换 (DFT) 是数字信号处理中最重要的工具之一，用于计算有限时间信号的频谱。将信息编码在构成信号的正弦波中是非常常见的。在某些应用中，时域波形的形状并不适用于信号，在这种情况下，信号的频率内容就变得非常有用，而不是作为数字信号。用频域中的频率成分来表示数字信号非常重要。将时域信号转换为频域分量的算法称为离散傅里叶变换或 DFT。

快速傅里叶变换 (FFT)

快速傅里叶变换(FFT)是 DFT 的一种实现方式，它产生的结果与 DFT 几乎相同，但效率更高，速度更快，通常能显著缩短计算时间。它只是一种用于快速高效计算 DFT 的计算算法。各种快速 DFT 计算技术统称为快速傅立叶变换或 FFT。高斯于 1805 年首次提出了计算小行星轨道三角函数系数的技术。直到 1965 年，库利和图基的一篇开创性论文才引起了科学和工程界的注意，同时也奠定了数字信号处理学科的基础。

FFT 和 DFT 的区别

FFT 和 DFT 的含义
离散傅立叶变换，简称 DFT，是一种将时域信号转换为频域分量的算法。顾名思义，DFT 是真正的离散；离散的时域数据集被转换成离散的频率表示。简单地说，它在时域表示和频域表示之间建立了一种关系。快速傅里叶变换(FFT)是一种计算算法，可减少大型变换的计算时间和复杂性。FFT 只是一种用于快速计算 DFT 的算法。

FFT 和 DFT 算法
最常用的 FFT 算法是库利-图基算法(Cooley-Tukey algorithm)，它以 J. W. 库利(J. W. Cooley)和约翰-图基(John Tukey)的名字命名。这是一种用于机器计算复傅里叶级数的分而治之算法。它将 DFT 分解成更小的 DFT。其他 FFT 算法包括 Rader 算法、Winograd 傅立叶变换算法、Chirp Z 变换算法等。DFT 算法既可在通用数字计算机上编程，也可由特殊硬件直接实现。FFT 算法用于计算序列或其逆的 DFT。DFT 的时间复杂度为 O(N2)，而 FFT 可将时间复杂度降低为 O (NlogN)。

FFT 和 DFT 的应用
DFT 可用于许多数字处理系统中的各种应用，如计算信号的频谱、解决偏微分应用、从雷达回波中探测目标、相关分析、计算多项式乘法、频谱分析等。FFT 已广泛应用于教堂和音乐厅的声学测量。FFT 的其他应用还包括模拟视频测量中的频谱分析、大整数和多项式乘法、滤波算法、计算同位素分布、计算傅里叶级数系数、计算卷积、生成低频噪声、设计运动形式、执行密集结构矩阵、图像处理等。

FFT 与 DFT 的对比总结

简而言之，离散傅立叶变换在物理学中扮演着重要角色，因为它可以作为一种数学工具来描述离散信号的时域和频域表示之间的关系。这是一种简单但相当耗时的算法。不过，为了减少大型变换的计算时间和复杂性，可以使用更复杂但耗时更少的算法，如快速傅立叶变换。FFT 是 DFT 的一种实现方式，用于快速计算 DFT。简而言之，FFT 可以完成 DFT 的所有功能，但比 DFT 更高效、更快速。这是一种高效的 DFT 计算方法。

FFT 和 DFT 的区别

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